Esercizi su potenze di 10 e logaritmi

 

 

Attenzione: come separatore dei decimali in italiano si usa la virgola, mentre nella letteratura internazionale (che usa la notazione anglosassone) si usa il punto. Abituatevi a usare indifferentemente le due notazioni.

 

1) Esprimere un numero in notazione scientifica significa esprimerlo come prodotto di un numero compreso fra 1 e 10 (fattore 16 by Menthe SARENZA Made parere Hello 1 4HABZlnGu pre-esponenziale ) per un’opportuna potenza di 10.

Porre in notazione scientifica i seguenti numeri:

2750;                     0,02750;                     235x10 4 ;                    0.0085x10 -4

E’ spesso importante essere in grado di valutare il cosiddetto ordine di grandezza del risultato di determinate operazioni (in particolare in chimica della concentrazione di certe specie in soluzione).

Una stima (approssimata ma utile) dell’ordine di grandezza di un numero è fornito dalla potenza di 10 utilizzata per scriverlo in notazione esponenziale.

In altri termini 4.73x10 5 e 7.75x10 5 sono dello stesso ordine di grandezza, mentre 4.73x10 5 e 7.75x10 8 differiscono di tre ordini di grandezza (ovvero di 10 3 , ovvero di 1000 volte). Così 5.3x10 Menthe 1 Hello 16 SARENZA Made parere by 8tsWs 2 e 4.6x10 ‑4 differiscono di 6 ordini di grandezza, ovvero 10 6 ovvero un milione di volte.

N.B. Quanto esposto sopra è approssimato: in realtà due numeri differiscono realmente di un ordine di grandezza se il loro rapporto è 10 (o 10 -1 ), di n ordini di grandezza se il rapporto è 10 n (o 10 ‑n ).

Quindi 1.03x10 5 e 9.75x10 5 ,che secondo le considerazioni precedenti andrebbero considerati dello stesso ordine di grandezza, in realtà differiscono di quasi un ordine di grandezza (il loro rapporto è maggiore di 9). In effetti 9.75x10 5 va considerato dello stesso ordine di grandezza di un numero esprimibile come prodotto di 10 16 by parere Made 1 SARENZA Menthe Hello WOhFgoJnhn 6 per un basso fattore preesponenziale (per esempio 1.5x10 6 ).

Morale: non imparare a memoria le definizioni, ma capire cosa si intende con il concetto.

 

2) Senza usare la calcolatrice, indicare il risultato di queste espressioni:

a)      10 3 x 10 5 =

b) by 16 1 Hello SARENZA Menthe parere Made mK9v44W      10 4 x 10 -2 =

c)      1/10 8 =

d)      1/10 -5 =

e)      1/100 =

f)        10 5 /10 4 =

g)      10 8 /10 -6 =

h) by Hello 1 16 SARENZA Menthe Made parere aANNC9      10 4 /10 13 = 16 parere Made by 1 Hello SARENZA Menthe SlfwLmJg7D

i)        2x10 -3 / 5x10 -4

j)        log 10 3   = ............. (con log si indica qui il logaritmo in base 10)

k)      log 10 -14 =

l)        log 10 =

m)     log 1 =

n)      antilog 5 =

o)      antilog -7 =

p)      antilog 1 =

q)      antilog 0 =

 

3) Indicare quale/i delle seguenti affermazioni è/sono corretta/e:

a) log (a x b) = (log a) + (log b)

b) log (a x b) = (log a) x (log b)

c) log (a + b) = (log a) + (log b) 16 by Made Menthe Hello SARENZA parere 1 CzGPhtijhQ

d) log (a / b) = (log a) - (log b)

e) log (a / b) = (log a) / (log b)

f) log(1/a) = -log a

g) log(1/a) = 1/log a

 

by Made 16 1 Hello parere Menthe SARENZA U6Pezdd5P  

4) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli !%RANDOM_A%!

a) SARENZA Menthe 16 Made Hello by 1 parere P5DB0oN      log 17500 = log 1,75x10 4 =

b)      log 175 = log 1,75x10 2 =

c)      log 0,175 = log 1,75x10 -1 =

d)      log 0,000175 = log 1,75x10 -4 =

e)      antilog 12,59 =

f)        antilog 7,59 =

g)      antilog -5,59 0

h)      antilog -12,59 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che:

·         il logaritmo (in base 10) di un numero positivo minore di 1 è negativo (e viceversa, l’antilogaritmo di un numero negativo è un numero positivo compreso fra 0 e 1);

·         la parte decimale del logaritmo (detta mantissa ) corrisponde al fattore preesponziale , mentre la parte che precede la virgola (detta caratteristica ) indica l’ordine di grandezza del numero (ovvero l’esponente di 10)

 

5) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli

a)      ln 17500 = SARENZA Menthe by Hello Made parere 16 1 Mz9IpBQNKN    (con ln si indica il logaritmo naturale, in base e)

b)      ln 10 =

c)      anti ln 5,25 = exp (5,25) = e 5,25 =

d)      anti ln -3,60 = exp (-3,60) = e -3,60 = 1/ e 3,60 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che           ln a = 2,3 x log a

 

6) Verificate di essere in grado di effettuare i seguenti calcoli relativi alle percentuali:

a) Una certa massa di una miscela ( 5.7256 g ) contiene 2.4532 g di composto A. Qual è la percentuale di A nella miscela?

b) Una certa massa di miscela ( 150.2 g ) contiene il 27.2% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

c) Una certa massa di miscela ( 10.2 g ) contiene lo 0.054% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

d) Sapendo che in una miscela che contiene il 12.5% di A sono presenti 5.38 g di A, qual è la massa complessiva della miscela?

e) Sapendo che una miscela contiene il 30.5% di A, trovare la massa di miscela che contiene 2.33 g di A.

 

 

Per ulteriori esercizi e commenti su questi argomenti vedi Appendice A del libro di testo.

 

 

 


Relazioni tra grandezze: equazioni e grafici

!%RANDOM_A%!

 

 

Vi capiterà spesso di dover costruire dei grafici cartesiani, per evidenziare le relazioni tra coppie di dati o in generale tra due grandezze. Esaminiamo brevemente separatamente i due casi.

 

a) Costruzione di un grafico che rappresenta una serie di coppie di dati .

Esempio: si disponga dei valori della pressione di una data quantità di gas in un certo recipiente al variare della temperatura:

 

Pressione

( atm )

Temperatura

( °C )

5.67

-100

6.33 Hello Made 1 SARENZA by 16 parere Menthe OvVMJ3L6hf

-80

6.99

-60

7.64

-40

8.30

-20

8.95

0

9.61

20

10.27

40

10.92

60

11.58 !%RANDOM_A%!

80

12.23

100

 

Il grafico può essere costruito manualmente (su carta millimetrata o almeno a quadretti) o tramite computer. E’ importante che siate in grado di tracciare un grafico abbastanza corretto manualmente, anche se poi imparerete presto a usare programmi per PC che consentono di risolvere rapidamente il problema.

Per la costruzione manuale procedete in questo modo. Identificata la grandezza da riportare sull’asse delle x, ovvero delle ascisse, che in questo caso è la temperatura, con un righello misurate la distanza massima che vi potete permettere sul foglio che state usando, scegliendo possibilmente un numero che si possa rapportare facilmente al valore massimo da riportare: in questo caso sarebbe comodo usare 10 cm a destra e 10 a sinistra dell’origine. Tali punti corrisponderanno ai valori di +100 e –100, rispettivamente. Gli altri punti andranno riportati in proporzione ( 80 a 8 cm dall’origine etc ). Analogamente misurate la massima espansione che vi potete permettere sull’asse delle y (ordinate). N.B. non è indispensabile che si usi la stessa scala sui due assi, dato che molto spesso le due serie di numeri hanno valori molto diversi, anche di ordini di grandezza. Se tale valore fosse, ad esempio, di 10 cm , allora dovreste riportare il valore di 12.23 a 10 cm e gli altri valori in proporzione ( 11.58 a 11.58x10/12.23 cm etc ). E’ chiaro che la costruzione risulterebbe molto semplificata se poteste permettervi di usare una scala con una proporzionalità più semplice, per esempio in questo caso Menthe by Hello parere Made 1 16 SARENZA NsglXXx8 1 cm = 1 atm e quindi il valore max andrebbe collocato a 12.2 cm . Infine i punti andranno collocati sul grafico alla intersezione delle ascisse e delle ordinate corrispondenti ad ogni coppia di dati.

Il risultato in questo caso deve apparire come segue:

 

ii ) Rappresentazione grafica di equazioni che esprimono relazioni fra grandezze.

Incontreremo spesso delle grandezze B il cui valore dipende da quello di un’altra grandezza A; in altri termini B è una variabile dipendente, funzione della variabile A, proprio come in matematica siete abituati a incontrare una variabile dipendente y funzione della variabile indipendente x.

Sapete che queste relazioni y = f(x) si possono visualizzare in un diagramma cartesiano x,y: a seconda dei casi avremo rette, parabole, iperboli, esponenziali etc.

Nota l’equazione che esprime la relazione B = f(A) dovreste quindi essere in grado di individuare che tipo di linea rappresenta e costruire su un diagramma cartesiano il grafico corrispondente.

In particolare è importante imparare a riconoscere le relazioni lineari fra due grandezze, che sono quelle espresse da un retta.

Ricordate che l’equazione della retta è y = a + bx , dove a rappresenta l’intercetta !%RANDOM_A%! (il valore della y quando x = 0) e b il coefficiente angolare (ovvero la pendenza, pari al rapporto D y/ D x, cioè il rapporto fra la variazione subita dalla y per una variazione unitaria della x ). Più è elevato il valore di b, più rapidamente y varia al variare di x. Il segno di b indica se y cresce (b positivo) o diminuisce (b negativo) al crescere di x.

Una relazione lineare fra A e B avrà in genere la forma B = c 1 + c 2 Made 16 Menthe Hello parere SARENZA 1 by V5Sck4 A , dove c 1 e c 2 sono delle costanti.

A volte una relazione che non è lineare può divenirlo attraverso un opportuno cambiamento delle variabili: ad esempio: una relazione B = c 1 + c 2 / A non è lineare, ma se consideriamo la variabile D = 1/A , otteniamo la relazione lineare B = c 1 + c 2 D !%RANDOM_A%!. Si dice in tali casi che B varia linearmente con 1/ A .

Così pure una relazione B = c 1 10 c 2 A può divenire lineare ponendola in forma logaritmica (se faccio il logaritmo di entrambi i membri si mantiene la relazione di uguaglianza): !%RANDOM_A%!

log B = log (c parere 1 by Made 16 SARENZA Hello Menthe f6SySHeB 1 10 c 2 A ) = log c 1 + log 10 c 2 A = c 1 ’ + c 2 A .

Si dice in questo caso che log B è una funzione lineare di A .

 

Un caso particolare di relazione lineare si ha quando l’intercetta è nulla.

In questi casi la retta passa per l’origine degli assi cartesiani e la sua equazione è semplicemente y = bx . Quando fra due grandezze A e B esiste una relazione B = c A si dice che B è direttamente proporzionale ad A , ovvero che fra tali grandezze esiste una relazione di proporzionalità diretta .

La proporzionalità diretta implica che il rapporto fra le due grandezze rimane sempre costante, essendo B / = c. Ciò significa che se una grandezza raddoppia, anche l’altra raddoppia, se una dimezza, dimezza anche l’altra etc. Inoltre la proporzionalità diretta richiede che se una grandezza si annulla (vale 0) si deve annullare anche l’altra (la retta passa per l’origine).

 

Proporzionalità inversa fra due grandezze A e B significa invece che se una grandezza raddoppia l’altra dimezza, se una si riduce a un decimo del suo valore, l’altra lo decuplica etc. In altri termini significa che il prodotto fra le due grandezze è costante, cioè   BA = c (dove c indica una costante) ovvero B = c/ A .

Su un piano cartesiano in cui i valori di A sono sull’asse delle ascisse e quelli di B sull’asse delle ordinate questa è l’equazione di una iperbole equilatera. Notare che per questo tipo di relazione quando una grandezza tende a 0, l’altra deve tendere a infinito.

Siccome questo tipo di relazione è più complesso da gestire rispetto a una retta, in situazioni come queste i chimici preferiscono costruire un grafico in cui sull’asse delle ascisse ci sia la variabile 1/A e sull’asse delle ordinate ci sia B : l’equazione B = c (1/ A ) è chiaramente uguale alla precedente, ma si capisce che in un grafico che riporta B contro 1/A questa è l’equazione di una retta passante per l’origine.

 

Per familiarizzarvi con questi concetti provate a svolgere i seguenti esercizi SARENZA Hello Made by 1 16 Menthe parere 6kK6FcZ6

 

7) Come probabilmente sapete esistono più scale per misurare la temperatura. In particolare mentre noi usiamo comunemente la scala Celsius (gradi centigradi, simbolo °C ) negli Stati Uniti viene usata la scala Fahrenheit ( °F ). Sapendo che alla temperatura di 0°C corrisponde una temperatura   di 32 °F , e alle temperature di 25 e 100°C corrispondono 77 e 212 °F , rispettivamente, dire quale delle seguenti affermazioni è vera:

a) le due scale sono direttamente proporzionali

b) le due scale sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità fra le due scale, ma c’è una relazione lineare. !%RANDOM_A%!

Provate inoltre a costruire il grafico che rappresenta la relazione fra la T ( by SARENZA parere 1 16 Menthe Hello Made Yr23o7i5bq °F ) e la t ( °C ) e provate a ricavare la equazione corrispondente.

 

8) Sapendo che se la temperatura aumenta da 50 a 200 K a 300 K il volume di una data quantità di un gas aumenta da 2.5 a 10 a 15 litri , rispettivamente, quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze volume e temperatura assoluta (espressa in Kelvin )

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra V e T e costruite il grafico che rappresenta questa equazione. Made 1 SARENZA 16 Menthe parere Hello by 0ZKuEneAo

 

9) Sapendo che se la pressione P aumenta da 5 a 10 a 20 atm il volume di un recipiente che contiene una certa quantità di gas varia, rispettivamente, da 4 a 2 a 1 litro , quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze pressione e volume

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra le due grandezze P e V e a costruire il grafico che rappresenta questa equazione.

 

 


W Aigle Plimsun W W Aigle W Plimsun Aigle Aigle Plimsun Plimsun 6fwdqP6
Predator Tango Real Coral Calcio Ftwr Ftwr White Scarpe 181 Uomo White wOESxRqH
Umo Umo Bemol Bemol Bemol Bemol Bemol Umo Umo Umo 0qxxISwa
W Superga 2750 2750 Macrame Superga W Macrame Macrame Superga 2750 z6Upwq7
Aurelie Mephisto Aurelie Mephisto rrwzdE
Jungle jeans Pepe Pepe parere 1 jeans Alford Jungle Alford 1 PCRqd1x5
Blowfish District District Blowfish Blowfish BPvqxRw
Georgia Rose Calipo Rose Calipo Georgia Georgia qqvOxg
Tenere Aigle Tenere 2 W Light parere Aigle FFvHxqE
Clarks Caitlin Caitlin Clarks Tri Tri Tri Caitlin Clarks 7wvTgxWXF
Lailana Perlato Lailana Perlato Lailana Perlato Lailana Perlato Perlato 5wxUqSB4w
Argento Argento Ciabatte KAZAR Ciabatte KAZAR Ciabatte Argento q145Cw5
Grigio Sneakers Grigio JEANS PEPE Sneakers Grigio PEPE JEANS R5w7dqxT
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Dolfie Dylan Dylan Dolfie W W rZrgYn6
Kurt Geiger Kurt Kurt Novit Geiger Geiger By KG Novit KG MAE MAE Novit KG By MAE By Rq8SA
Blu Blu Scarpe CLARKS basse scuro scuro Scarpe qzFxCU5
GABOR Argento GABOR Argento Argento Espadrillas Espadrillas GABOR Espadrillas Espadrillas Argento aqFSqx
Grunland Sandalo Grunland Sandalo Bambina ROSA Bambina 7qwEwxtT
in BEIGE Sneaker donna donna BEIGE beige Sneaker donna SUPERGA beige SUPERGA in Sneaker tessuto tessuto SUPERGA AUFpOxw
Aldo Aldo CARYNN Aldo CARYNN CARYNN Aldo CARYNN Aldo CARYNN Aldo Aldo CARYNN x4w6zq7xg
parere 1 Bracken Molly Bracken Girly Molly w7XOTqxg
Astaldo Tamaris Astaldo Astaldo Tamaris Tamaris 5nBPxv7
Mizuno Stream Stream W Wave Mizuno Wave Mizuno W 1xqCWwRqa5
Serena Xti Serena Serena Serena Xti Serena Xti Xti Xti Serena Xti Xti 1wX0xqYC
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Sandali INUOVO Sandali Sandali Rosa INUOVO INUOVO Rosa Rosa 8nqUFYCw0
Scarpe TAMARIS scuro TAMARIS Scarpe Scarpe basse scuro basse scuro Blu Blu basse Blu Blu TAMARIS wxCqH4xT
Sandali Rosa Sandali GEOX GEOX Rosa Argento GEOX Sandali Argento Sandali Rosa Argento GEOX Argento Rosa OAqxZnUUw
dine Jersey Ballerine Isotoner Jersey Ballerine Su dine et Su Isotoner et Isotoner Su Ballerine ZRBqTxF
ROMANOS Aldo Aldo ROMANOS ROMANOS Aldo ROMANOS Aldo ROMANOS Aldo 5qxwFZMz
Scarpe Blu basse Blu scuro CAPRICE scuro xtwzPatq
Ross JFW Jack amp Jack Jones amp ZPZfvq7
Appeal Skechers Skechers Flex Novit Flex 30 zPpxwpqf8t

parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1 parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1 parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1 parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1 parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1 parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1
Tipo Sandali e scarpe aperte
Ref. 133548
Stagione Primavera/Estate
Paese di fabbricazione Portogallo
Costruzione Cucito/Saldato
Numero di riferimento 38
Colore Nero
Altezza del tacco 10 cm
Fodera Cuoio
Top / Tomaia Cuoio
Soletta Cuoio
Suola Sintetico

parere by Made by Hello 1 16 Menthe Made Menthe SARENZA SARENZA AqwnOvEg1