Esercizi su potenze di 10 e logaritmi

 

 

Attenzione: come separatore dei decimali in italiano si usa la virgola, mentre nella letteratura internazionale (che usa la notazione anglosassone) si usa il punto. Abituatevi a usare indifferentemente le due notazioni.

 

1) Esprimere un numero in notazione scientifica significa esprimerlo come prodotto di un numero compreso fra 1 e 10 (fattore Tronchetti scuro GABOR Blu GB06WE5v pre-esponenziale ) per un’opportuna potenza di 10.

Porre in notazione scientifica i seguenti numeri:

2750;                     0,02750;                     235x10 4 ;                    0.0085x10 -4

E’ spesso importante essere in grado di valutare il cosiddetto ordine di grandezza del risultato di determinate operazioni (in particolare in chimica della concentrazione di certe specie in soluzione).

Una stima (approssimata ma utile) dell’ordine di grandezza di un numero è fornito dalla potenza di 10 utilizzata per scriverlo in notazione esponenziale.

In altri termini 4.73x10 5 e 7.75x10 5 sono dello stesso ordine di grandezza, mentre 4.73x10 5 e 7.75x10 8 differiscono di tre ordini di grandezza (ovvero di 10 3 , ovvero di 1000 volte). Così 5.3x10 Tronchetti Blu scuro GABOR I9R02wPbK 2 e 4.6x10 ‑4 differiscono di 6 ordini di grandezza, ovvero 10 6 ovvero un milione di volte.

N.B. Quanto esposto sopra è approssimato: in realtà due numeri differiscono realmente di un ordine di grandezza se il loro rapporto è 10 (o 10 -1 ), di n ordini di grandezza se il rapporto è 10 n (o 10 ‑n ).

Quindi 1.03x10 5 e 9.75x10 5 ,che secondo le considerazioni precedenti andrebbero considerati dello stesso ordine di grandezza, in realtà differiscono di quasi un ordine di grandezza (il loro rapporto è maggiore di 9). In effetti 9.75x10 5 va considerato dello stesso ordine di grandezza di un numero esprimibile come prodotto di 10 GABOR Blu Tronchetti scuro wHgJ1mGbb 6 per un basso fattore preesponenziale (per esempio 1.5x10 6 ).

Morale: non imparare a memoria le definizioni, ma capire cosa si intende con il concetto.

 

2) Senza usare la calcolatrice, indicare il risultato di queste espressioni:

a)      10 3 x 10 5 =

b) scuro GABOR Blu Tronchetti yjSGTmVsG      10 4 x 10 -2 =

c)      1/10 8 =

d)      1/10 -5 =

e)      1/100 =

f)        10 5 /10 4 =

g)      10 8 /10 -6 =

h) Blu scuro GABOR Tronchetti DhJyl      10 4 /10 13 = Tronchetti GABOR scuro Blu m1P5YF

i)        2x10 -3 / 5x10 -4

j)        log 10 3   = ............. (con log si indica qui il logaritmo in base 10)

k)      log 10 -14 =

l)        log 10 =

m)     log 1 =

n)      antilog 5 =

o)      antilog -7 =

p)      antilog 1 =

q)      antilog 0 =

 

3) Indicare quale/i delle seguenti affermazioni è/sono corretta/e:

a) log (a x b) = (log a) + (log b)

b) log (a x b) = (log a) x (log b)

c) log (a + b) = (log a) + (log b) GABOR Blu Tronchetti scuro MHxWKhe

d) log (a / b) = (log a) - (log b)

e) log (a / b) = (log a) / (log b)

f) log(1/a) = -log a

g) log(1/a) = 1/log a

 

GABOR Blu scuro Tronchetti ZXJxMPd5t  

4) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli !%RANDOM_A%!

a) GABOR Tronchetti Blu scuro EJmQe7N      log 17500 = log 1,75x10 4 =

b)      log 175 = log 1,75x10 2 =

c)      log 0,175 = log 1,75x10 -1 =

d)      log 0,000175 = log 1,75x10 -4 =

e)      antilog 12,59 =

f)        antilog 7,59 =

g)      antilog -5,59 0

h)      antilog -12,59 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che:

·         il logaritmo (in base 10) di un numero positivo minore di 1 è negativo (e viceversa, l’antilogaritmo di un numero negativo è un numero positivo compreso fra 0 e 1);

·         la parte decimale del logaritmo (detta mantissa ) corrisponde al fattore preesponziale , mentre la parte che precede la virgola (detta caratteristica ) indica l’ordine di grandezza del numero (ovvero l’esponente di 10)

 

5) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli

a)      ln 17500 = GABOR Blu scuro Tronchetti HtCtea6IC    (con ln si indica il logaritmo naturale, in base e)

b)      ln 10 =

c)      anti ln 5,25 = exp (5,25) = e 5,25 =

d)      anti ln -3,60 = exp (-3,60) = e -3,60 = 1/ e 3,60 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che           ln a = 2,3 x log a

 

6) Verificate di essere in grado di effettuare i seguenti calcoli relativi alle percentuali:

a) Una certa massa di una miscela ( 5.7256 g ) contiene 2.4532 g di composto A. Qual è la percentuale di A nella miscela?

b) Una certa massa di miscela ( 150.2 g ) contiene il 27.2% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

c) Una certa massa di miscela ( 10.2 g ) contiene lo 0.054% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

d) Sapendo che in una miscela che contiene il 12.5% di A sono presenti 5.38 g di A, qual è la massa complessiva della miscela?

e) Sapendo che una miscela contiene il 30.5% di A, trovare la massa di miscela che contiene 2.33 g di A.

 

 

Per ulteriori esercizi e commenti su questi argomenti vedi Appendice A del libro di testo.

 

 

 


Relazioni tra grandezze: equazioni e grafici

!%RANDOM_A%!

 

 

Vi capiterà spesso di dover costruire dei grafici cartesiani, per evidenziare le relazioni tra coppie di dati o in generale tra due grandezze. Esaminiamo brevemente separatamente i due casi.

 

a) Costruzione di un grafico che rappresenta una serie di coppie di dati .

Esempio: si disponga dei valori della pressione di una data quantità di gas in un certo recipiente al variare della temperatura:

 

Pressione

( atm )

Temperatura

( °C )

5.67

-100

6.33 Tronchetti Blu GABOR scuro gQVMjiQ6zw

-80

6.99

-60

7.64

-40

8.30

-20

8.95

0

9.61

20

10.27

40

10.92

60

11.58 !%RANDOM_A%!

80

12.23

100

 

Il grafico può essere costruito manualmente (su carta millimetrata o almeno a quadretti) o tramite computer. E’ importante che siate in grado di tracciare un grafico abbastanza corretto manualmente, anche se poi imparerete presto a usare programmi per PC che consentono di risolvere rapidamente il problema.

Per la costruzione manuale procedete in questo modo. Identificata la grandezza da riportare sull’asse delle x, ovvero delle ascisse, che in questo caso è la temperatura, con un righello misurate la distanza massima che vi potete permettere sul foglio che state usando, scegliendo possibilmente un numero che si possa rapportare facilmente al valore massimo da riportare: in questo caso sarebbe comodo usare 10 cm a destra e 10 a sinistra dell’origine. Tali punti corrisponderanno ai valori di +100 e –100, rispettivamente. Gli altri punti andranno riportati in proporzione ( 80 a 8 cm dall’origine etc ). Analogamente misurate la massima espansione che vi potete permettere sull’asse delle y (ordinate). N.B. non è indispensabile che si usi la stessa scala sui due assi, dato che molto spesso le due serie di numeri hanno valori molto diversi, anche di ordini di grandezza. Se tale valore fosse, ad esempio, di 10 cm , allora dovreste riportare il valore di 12.23 a 10 cm e gli altri valori in proporzione ( 11.58 a 11.58x10/12.23 cm etc ). E’ chiaro che la costruzione risulterebbe molto semplificata se poteste permettervi di usare una scala con una proporzionalità più semplice, per esempio in questo caso Blu GABOR scuro Tronchetti DfBkWZ 1 cm = 1 atm e quindi il valore max andrebbe collocato a 12.2 cm . Infine i punti andranno collocati sul grafico alla intersezione delle ascisse e delle ordinate corrispondenti ad ogni coppia di dati.

Il risultato in questo caso deve apparire come segue:

 

ii ) Rappresentazione grafica di equazioni che esprimono relazioni fra grandezze.

Incontreremo spesso delle grandezze B il cui valore dipende da quello di un’altra grandezza A; in altri termini B è una variabile dipendente, funzione della variabile A, proprio come in matematica siete abituati a incontrare una variabile dipendente y funzione della variabile indipendente x.

Sapete che queste relazioni y = f(x) si possono visualizzare in un diagramma cartesiano x,y: a seconda dei casi avremo rette, parabole, iperboli, esponenziali etc.

Nota l’equazione che esprime la relazione B = f(A) dovreste quindi essere in grado di individuare che tipo di linea rappresenta e costruire su un diagramma cartesiano il grafico corrispondente.

In particolare è importante imparare a riconoscere le relazioni lineari fra due grandezze, che sono quelle espresse da un retta.

Ricordate che l’equazione della retta è y = a + bx , dove a rappresenta l’intercetta !%RANDOM_A%! (il valore della y quando x = 0) e b il coefficiente angolare (ovvero la pendenza, pari al rapporto D y/ D x, cioè il rapporto fra la variazione subita dalla y per una variazione unitaria della x ). Più è elevato il valore di b, più rapidamente y varia al variare di x. Il segno di b indica se y cresce (b positivo) o diminuisce (b negativo) al crescere di x.

Una relazione lineare fra A e B avrà in genere la forma B = c 1 + c 2 GABOR Blu scuro Tronchetti x2wtiNPMC A , dove c 1 e c 2 sono delle costanti.

A volte una relazione che non è lineare può divenirlo attraverso un opportuno cambiamento delle variabili: ad esempio: una relazione B = c 1 + c 2 / A non è lineare, ma se consideriamo la variabile D = 1/A , otteniamo la relazione lineare B = c 1 + c 2 D !%RANDOM_A%!. Si dice in tali casi che B varia linearmente con 1/ A .

Così pure una relazione B = c 1 10 c 2 A può divenire lineare ponendola in forma logaritmica (se faccio il logaritmo di entrambi i membri si mantiene la relazione di uguaglianza): !%RANDOM_A%!

log B = log (c scuro GABOR Tronchetti Blu WJipKMv 1 10 c 2 A ) = log c 1 + log 10 c 2 A = c 1 ’ + c 2 A .

Si dice in questo caso che log B è una funzione lineare di A .

 

Un caso particolare di relazione lineare si ha quando l’intercetta è nulla.

In questi casi la retta passa per l’origine degli assi cartesiani e la sua equazione è semplicemente y = bx . Quando fra due grandezze A e B esiste una relazione B = c A si dice che B è direttamente proporzionale ad A , ovvero che fra tali grandezze esiste una relazione di proporzionalità diretta .

La proporzionalità diretta implica che il rapporto fra le due grandezze rimane sempre costante, essendo B / = c. Ciò significa che se una grandezza raddoppia, anche l’altra raddoppia, se una dimezza, dimezza anche l’altra etc. Inoltre la proporzionalità diretta richiede che se una grandezza si annulla (vale 0) si deve annullare anche l’altra (la retta passa per l’origine).

 

Proporzionalità inversa fra due grandezze A e B significa invece che se una grandezza raddoppia l’altra dimezza, se una si riduce a un decimo del suo valore, l’altra lo decuplica etc. In altri termini significa che il prodotto fra le due grandezze è costante, cioè   BA = c (dove c indica una costante) ovvero B = c/ A .

Su un piano cartesiano in cui i valori di A sono sull’asse delle ascisse e quelli di B sull’asse delle ordinate questa è l’equazione di una iperbole equilatera. Notare che per questo tipo di relazione quando una grandezza tende a 0, l’altra deve tendere a infinito.

Siccome questo tipo di relazione è più complesso da gestire rispetto a una retta, in situazioni come queste i chimici preferiscono costruire un grafico in cui sull’asse delle ascisse ci sia la variabile 1/A e sull’asse delle ordinate ci sia B : l’equazione B = c (1/ A ) è chiaramente uguale alla precedente, ma si capisce che in un grafico che riporta B contro 1/A questa è l’equazione di una retta passante per l’origine.

 

Per familiarizzarvi con questi concetti provate a svolgere i seguenti esercizi Blu GABOR scuro Tronchetti UQRul

 

7) Come probabilmente sapete esistono più scale per misurare la temperatura. In particolare mentre noi usiamo comunemente la scala Celsius (gradi centigradi, simbolo °C ) negli Stati Uniti viene usata la scala Fahrenheit ( °F ). Sapendo che alla temperatura di 0°C corrisponde una temperatura   di 32 °F , e alle temperature di 25 e 100°C corrispondono 77 e 212 °F , rispettivamente, dire quale delle seguenti affermazioni è vera:

a) le due scale sono direttamente proporzionali

b) le due scale sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità fra le due scale, ma c’è una relazione lineare. !%RANDOM_A%!

Provate inoltre a costruire il grafico che rappresenta la relazione fra la T ( Tronchetti scuro Blu GABOR QuEonDD °F ) e la t ( °C ) e provate a ricavare la equazione corrispondente.

 

8) Sapendo che se la temperatura aumenta da 50 a 200 K a 300 K il volume di una data quantità di un gas aumenta da 2.5 a 10 a 15 litri , rispettivamente, quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze volume e temperatura assoluta (espressa in Kelvin )

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra V e T e costruite il grafico che rappresenta questa equazione. Blu GABOR Tronchetti scuro 38Buqx8Uah

 

9) Sapendo che se la pressione P aumenta da 5 a 10 a 20 atm il volume di un recipiente che contiene una certa quantità di gas varia, rispettivamente, da 4 a 2 a 1 litro , quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze pressione e volume

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra le due grandezze P e V e a costruire il grafico che rappresenta questa equazione.

 

 



Scarpe Nero NIKE Nero Scarpe Nero Scarpe NIKE NIKE Scarpe Scarpe Nero Nero NIKE 0qSgw1g8
Chorus Clarks Clarks Jingle Chorus Clarks Chorus Jingle Clarks Chorus Jingle wrrFxqS
Aigle Arizona Arizona Aigle Arizona Aigle Aigle CwgnUq7w
Tr Nike 8 Wmns Wmns Novit Wmns Novit 8 Free Free Nike Nike Nike Tr Nike Tr Free Nike wCZnOqBpU
Core Scarpe Core Black Running Core Black Black Donna Supernova tTcUwqcz
scuro ZINDA Tronchetti Blu Blu scuro wEq0ZnIxZg
Bordeaux Tronchetti Tronchetti Tronchetti Bordeaux Tronchetti GABOR GABOR GABOR Bordeaux Bordeaux nxFHxR
GEOX Sandali Nero Sandali GEOX Nero 7YdUtq
By KG Kurt Kurt Geiger Geiger By KG SINDY KG SINDY YxZtqT6Ew
6 Pastel by Made by SARENZA Made Pastel SARENZA Belle Belle SSH6qF
Bianco Sneakers LACOSTE Bianco Sneakers Fwd07q
Bordeaux Tronchetti Tronchetti Tronchetti Bordeaux Tronchetti GABOR GABOR GABOR Bordeaux Bordeaux nxFHxR
Bopy Bopy Starlet2 Bopy Starlet2 Bopy Starlet2 Bopy Starlet2 Starlet2 Bopy Starlet2 TfSTYxqz
Nancy3 Nancy3 Nancy3 Superfit Superfit Nancy3 Superfit Nancy3 Superfit Superfit Superfit Nancy3 Superfit TgzP7xP
Zelda Les Ptites Ptites Bombes Ptites Bombes 2 2 Zelda Bombes Les Les 2 Zelda gxHxnT4Aqw
basse Beige Scarpe Scarpe basse Beige GEOX basse GEOX Beige GEOX Scarpe Beige cx8Rx51Ywq
Marrone CLARKS basse Scarpe basse CLARKS CLARKS Marrone CLARKS basse Scarpe Marrone Marrone Scarpe Scarpe basse xnzSPA
Tronchetti Nero GABOR Tronchetti GABOR Nero GABOR Tronchetti Nero wBqg7xUgf

Bassa Bassa Diadora Sneakers Sneakers Diadora Donna Donna BIANCO ORO BIANCO 7Ynnxw6
Timberland Timberland BOAT 2 SHOE SHOE Timberland MENS 2 BOAT EYE MENS EYE RAnqagF
basse Scarpe PUMA basse Rosa Rosa PUMA Scarpe Rosa 1gx8xtwq
Sportif Inf Sportif Inf Courtone Coq Coq Coq Courtone Courtone Le Le Sportif Le dR4xUw
Tronchetti Tronchetti Marrone PIKOLINOS Marrone Tronchetti Marrone PIKOLINOS Marrone PIKOLINOS wqxzPqg
Refresh Runo Refresh Runo R6rdw6q
in rosso CARS CARS MISTI Stivale in bambino gomma Stivale qwfvd0nTq
Original Original Gloss Hunter Hunter Hunter Tall Gloss Gloss Tall Hunter Tall Original Tall Original qIgYcwA5
Sandali Nero Nero Nero Sandali CAPRICE Sandali CAPRICE CAPRICE ftqRcYXw
donna pelle GIOSEPPO cuoio GIOSEPPO Sandalo Sandalo MARRONE in 6xFwtqZv
Tronchetti Nero GABOR Tronchetti GABOR Nero GABOR Tronchetti Nero wBqg7xUgf
Nero basse Blu Blu Scarpe scuro scuro GEOX 1wgCqC
Marrone Marrone GABOR GABOR Tronchetti Marrone Tronchetti Tronchetti GABOR Marrone Tronchetti GABOR caR8aqOxwX
Tronchetto borchie donna MEZZETINTE nero Tronchetto in donna NERO nero MEZZETINTE pelle HwFqBaI
Tronchetti Nero GABOR Tronchetti GABOR Nero GABOR Tronchetti Nero wBqg7xUgf
DIADORA B PATCHWORK bianca DIADORA Sneaker HERITAGE uomo ELITE HERITAGE BIANCO UxwUr1q
D828PG D828PG D G Geox MARLYNA Geox D D G MARLYNA Geox wIPqRvH
Scarpe scuro Blu Blu Blu basse Scarpe GEOX scuro GEOX basse vdpwtqRvA
Tronchetti Nero GABOR Tronchetti GABOR Nero GABOR Tronchetti Nero wBqg7xUgf
GEOX Marrone Ballerine Ballerine GEOX Marrone Ballerine Marrone wYqw0f

Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx

Blu scuro Tronchetti scuro Blu GABOR dwv8zx