Esercizi su potenze di 10 e logaritmi

 

 

Attenzione: come separatore dei decimali in italiano si usa la virgola, mentre nella letteratura internazionale (che usa la notazione anglosassone) si usa il punto. Abituatevi a usare indifferentemente le due notazioni.

 

1) Esprimere un numero in notazione scientifica significa esprimerlo come prodotto di un numero compreso fra 1 e 10 (fattore parere Ballerine Bensimon 5 YHUAgFr4 pre-esponenziale ) per un’opportuna potenza di 10.

Porre in notazione scientifica i seguenti numeri:

2750;                     0,02750;                     235x10 4 ;                    0.0085x10 -4

E’ spesso importante essere in grado di valutare il cosiddetto ordine di grandezza del risultato di determinate operazioni (in particolare in chimica della concentrazione di certe specie in soluzione).

Una stima (approssimata ma utile) dell’ordine di grandezza di un numero è fornito dalla potenza di 10 utilizzata per scriverlo in notazione esponenziale.

In altri termini 4.73x10 5 e 7.75x10 5 sono dello stesso ordine di grandezza, mentre 4.73x10 5 e 7.75x10 8 differiscono di tre ordini di grandezza (ovvero di 10 3 , ovvero di 1000 volte). Così 5.3x10 Ballerine parere 5 Bensimon zfqQ6OCPnz 2 e 4.6x10 ‑4 differiscono di 6 ordini di grandezza, ovvero 10 6 ovvero un milione di volte.

N.B. Quanto esposto sopra è approssimato: in realtà due numeri differiscono realmente di un ordine di grandezza se il loro rapporto è 10 (o 10 -1 ), di n ordini di grandezza se il rapporto è 10 n (o 10 ‑n ).

Quindi 1.03x10 5 e 9.75x10 5 ,che secondo le considerazioni precedenti andrebbero considerati dello stesso ordine di grandezza, in realtà differiscono di quasi un ordine di grandezza (il loro rapporto è maggiore di 9). In effetti 9.75x10 5 va considerato dello stesso ordine di grandezza di un numero esprimibile come prodotto di 10 Ballerine 5 Bensimon parere aNEiv8Z 6 per un basso fattore preesponenziale (per esempio 1.5x10 6 ).

Morale: non imparare a memoria le definizioni, ma capire cosa si intende con il concetto.

 

2) Senza usare la calcolatrice, indicare il risultato di queste espressioni:

a)      10 3 x 10 5 =

b) Ballerine 5 parere Bensimon uDOd2NR      10 4 x 10 -2 =

c)      1/10 8 =

d)      1/10 -5 =

e)      1/100 =

f)        10 5 /10 4 =

g)      10 8 /10 -6 =

h) 5 Bensimon Ballerine parere 6PV59I9      10 4 /10 13 = 5 parere Bensimon Ballerine roG5C

i)        2x10 -3 / 5x10 -4

j)        log 10 3   = ............. (con log si indica qui il logaritmo in base 10)

k)      log 10 -14 =

l)        log 10 =

m)     log 1 =

n)      antilog 5 =

o)      antilog -7 =

p)      antilog 1 =

q)      antilog 0 =

 

3) Indicare quale/i delle seguenti affermazioni è/sono corretta/e:

a) log (a x b) = (log a) + (log b)

b) log (a x b) = (log a) x (log b)

c) log (a + b) = (log a) + (log b) Ballerine Bensimon 5 parere P6HmDq

d) log (a / b) = (log a) - (log b)

e) log (a / b) = (log a) / (log b)

f) log(1/a) = -log a

g) log(1/a) = 1/log a

 

5 parere Ballerine Bensimon CDSoYTSY  

4) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli !%RANDOM_A%!

a) Ballerine parere Bensimon 5 K9x1NIGHW      log 17500 = log 1,75x10 4 =

b)      log 175 = log 1,75x10 2 =

c)      log 0,175 = log 1,75x10 -1 =

d)      log 0,000175 = log 1,75x10 -4 =

e)      antilog 12,59 =

f)        antilog 7,59 =

g)      antilog -5,59 0

h)      antilog -12,59 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che:

·         il logaritmo (in base 10) di un numero positivo minore di 1 è negativo (e viceversa, l’antilogaritmo di un numero negativo è un numero positivo compreso fra 0 e 1);

·         la parte decimale del logaritmo (detta mantissa ) corrisponde al fattore preesponziale , mentre la parte che precede la virgola (detta caratteristica ) indica l’ordine di grandezza del numero (ovvero l’esponente di 10)

 

5) Verificate di essere in grado di effettuare correttamente con la vostra calcolatrice i seguenti calcoli

a)      ln 17500 = 5 Ballerine parere Bensimon xBpvo    (con ln si indica il logaritmo naturale, in base e)

b)      ln 10 =

c)      anti ln 5,25 = exp (5,25) = e 5,25 =

d)      anti ln -3,60 = exp (-3,60) = e -3,60 = 1/ e 3,60 =

N.B. Usate gli esempi precedenti per verificare che           ln a = 2,3 x log a

 

6) Verificate di essere in grado di effettuare i seguenti calcoli relativi alle percentuali:

a) Una certa massa di una miscela ( 5.7256 g ) contiene 2.4532 g di composto A. Qual è la percentuale di A nella miscela?

b) Una certa massa di miscela ( 150.2 g ) contiene il 27.2% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

c) Una certa massa di miscela ( 10.2 g ) contiene lo 0.054% di A. Qual è la massa di A nella miscela?

d) Sapendo che in una miscela che contiene il 12.5% di A sono presenti 5.38 g di A, qual è la massa complessiva della miscela?

e) Sapendo che una miscela contiene il 30.5% di A, trovare la massa di miscela che contiene 2.33 g di A.

 

 

Per ulteriori esercizi e commenti su questi argomenti vedi Appendice A del libro di testo.

 

 

 


Relazioni tra grandezze: equazioni e grafici

!%RANDOM_A%!

 

 

Vi capiterà spesso di dover costruire dei grafici cartesiani, per evidenziare le relazioni tra coppie di dati o in generale tra due grandezze. Esaminiamo brevemente separatamente i due casi.

 

a) Costruzione di un grafico che rappresenta una serie di coppie di dati .

Esempio: si disponga dei valori della pressione di una data quantità di gas in un certo recipiente al variare della temperatura:

 

Pressione

( atm )

Temperatura

( °C )

5.67

-100

6.33 5 Ballerine parere Bensimon nuuWseh

-80

6.99

-60

7.64

-40

8.30

-20

8.95

0

9.61

20

10.27

40

10.92

60

11.58 !%RANDOM_A%!

80

12.23

100

 

Il grafico può essere costruito manualmente (su carta millimetrata o almeno a quadretti) o tramite computer. E’ importante che siate in grado di tracciare un grafico abbastanza corretto manualmente, anche se poi imparerete presto a usare programmi per PC che consentono di risolvere rapidamente il problema.

Per la costruzione manuale procedete in questo modo. Identificata la grandezza da riportare sull’asse delle x, ovvero delle ascisse, che in questo caso è la temperatura, con un righello misurate la distanza massima che vi potete permettere sul foglio che state usando, scegliendo possibilmente un numero che si possa rapportare facilmente al valore massimo da riportare: in questo caso sarebbe comodo usare 10 cm a destra e 10 a sinistra dell’origine. Tali punti corrisponderanno ai valori di +100 e –100, rispettivamente. Gli altri punti andranno riportati in proporzione ( 80 a 8 cm dall’origine etc ). Analogamente misurate la massima espansione che vi potete permettere sull’asse delle y (ordinate). N.B. non è indispensabile che si usi la stessa scala sui due assi, dato che molto spesso le due serie di numeri hanno valori molto diversi, anche di ordini di grandezza. Se tale valore fosse, ad esempio, di 10 cm , allora dovreste riportare il valore di 12.23 a 10 cm e gli altri valori in proporzione ( 11.58 a 11.58x10/12.23 cm etc ). E’ chiaro che la costruzione risulterebbe molto semplificata se poteste permettervi di usare una scala con una proporzionalità più semplice, per esempio in questo caso Bensimon parere 5 Ballerine RS7y4q 1 cm = 1 atm e quindi il valore max andrebbe collocato a 12.2 cm . Infine i punti andranno collocati sul grafico alla intersezione delle ascisse e delle ordinate corrispondenti ad ogni coppia di dati.

Il risultato in questo caso deve apparire come segue:

 

ii ) Rappresentazione grafica di equazioni che esprimono relazioni fra grandezze.

Incontreremo spesso delle grandezze B il cui valore dipende da quello di un’altra grandezza A; in altri termini B è una variabile dipendente, funzione della variabile A, proprio come in matematica siete abituati a incontrare una variabile dipendente y funzione della variabile indipendente x.

Sapete che queste relazioni y = f(x) si possono visualizzare in un diagramma cartesiano x,y: a seconda dei casi avremo rette, parabole, iperboli, esponenziali etc.

Nota l’equazione che esprime la relazione B = f(A) dovreste quindi essere in grado di individuare che tipo di linea rappresenta e costruire su un diagramma cartesiano il grafico corrispondente.

In particolare è importante imparare a riconoscere le relazioni lineari fra due grandezze, che sono quelle espresse da un retta.

Ricordate che l’equazione della retta è y = a + bx , dove a rappresenta l’intercetta !%RANDOM_A%! (il valore della y quando x = 0) e b il coefficiente angolare (ovvero la pendenza, pari al rapporto D y/ D x, cioè il rapporto fra la variazione subita dalla y per una variazione unitaria della x ). Più è elevato il valore di b, più rapidamente y varia al variare di x. Il segno di b indica se y cresce (b positivo) o diminuisce (b negativo) al crescere di x.

Una relazione lineare fra A e B avrà in genere la forma B = c 1 + c 2 5 Ballerine parere Bensimon OyKM0nFNz A , dove c 1 e c 2 sono delle costanti.

A volte una relazione che non è lineare può divenirlo attraverso un opportuno cambiamento delle variabili: ad esempio: una relazione B = c 1 + c 2 / A non è lineare, ma se consideriamo la variabile D = 1/A , otteniamo la relazione lineare B = c 1 + c 2 D !%RANDOM_A%!. Si dice in tali casi che B varia linearmente con 1/ A .

Così pure una relazione B = c 1 10 c 2 A può divenire lineare ponendola in forma logaritmica (se faccio il logaritmo di entrambi i membri si mantiene la relazione di uguaglianza): !%RANDOM_A%!

log B = log (c parere Ballerine 5 Bensimon UhLnBSt1CA 1 10 c 2 A ) = log c 1 + log 10 c 2 A = c 1 ’ + c 2 A .

Si dice in questo caso che log B è una funzione lineare di A .

 

Un caso particolare di relazione lineare si ha quando l’intercetta è nulla.

In questi casi la retta passa per l’origine degli assi cartesiani e la sua equazione è semplicemente y = bx . Quando fra due grandezze A e B esiste una relazione B = c A si dice che B è direttamente proporzionale ad A , ovvero che fra tali grandezze esiste una relazione di proporzionalità diretta .

La proporzionalità diretta implica che il rapporto fra le due grandezze rimane sempre costante, essendo B / = c. Ciò significa che se una grandezza raddoppia, anche l’altra raddoppia, se una dimezza, dimezza anche l’altra etc. Inoltre la proporzionalità diretta richiede che se una grandezza si annulla (vale 0) si deve annullare anche l’altra (la retta passa per l’origine).

 

Proporzionalità inversa fra due grandezze A e B significa invece che se una grandezza raddoppia l’altra dimezza, se una si riduce a un decimo del suo valore, l’altra lo decuplica etc. In altri termini significa che il prodotto fra le due grandezze è costante, cioè   BA = c (dove c indica una costante) ovvero B = c/ A .

Su un piano cartesiano in cui i valori di A sono sull’asse delle ascisse e quelli di B sull’asse delle ordinate questa è l’equazione di una iperbole equilatera. Notare che per questo tipo di relazione quando una grandezza tende a 0, l’altra deve tendere a infinito.

Siccome questo tipo di relazione è più complesso da gestire rispetto a una retta, in situazioni come queste i chimici preferiscono costruire un grafico in cui sull’asse delle ascisse ci sia la variabile 1/A e sull’asse delle ordinate ci sia B : l’equazione B = c (1/ A ) è chiaramente uguale alla precedente, ma si capisce che in un grafico che riporta B contro 1/A questa è l’equazione di una retta passante per l’origine.

 

Per familiarizzarvi con questi concetti provate a svolgere i seguenti esercizi parere Bensimon 5 Ballerine D2mKCC0i

 

7) Come probabilmente sapete esistono più scale per misurare la temperatura. In particolare mentre noi usiamo comunemente la scala Celsius (gradi centigradi, simbolo °C ) negli Stati Uniti viene usata la scala Fahrenheit ( °F ). Sapendo che alla temperatura di 0°C corrisponde una temperatura   di 32 °F , e alle temperature di 25 e 100°C corrispondono 77 e 212 °F , rispettivamente, dire quale delle seguenti affermazioni è vera:

a) le due scale sono direttamente proporzionali

b) le due scale sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità fra le due scale, ma c’è una relazione lineare. !%RANDOM_A%!

Provate inoltre a costruire il grafico che rappresenta la relazione fra la T ( parere Bensimon 5 Ballerine pCyTrC4vac °F ) e la t ( °C ) e provate a ricavare la equazione corrispondente.

 

8) Sapendo che se la temperatura aumenta da 50 a 200 K a 300 K il volume di una data quantità di un gas aumenta da 2.5 a 10 a 15 litri , rispettivamente, quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze volume e temperatura assoluta (espressa in Kelvin )

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra V e T e costruite il grafico che rappresenta questa equazione. 5 Ballerine Bensimon parere 6mXX1

 

9) Sapendo che se la pressione P aumenta da 5 a 10 a 20 atm il volume di un recipiente che contiene una certa quantità di gas varia, rispettivamente, da 4 a 2 a 1 litro , quale delle seguenti affermazioni è vera:

le due grandezze pressione e volume

a) sono direttamente proporzionali

b) sono inversamente proporzionali;

c) non c’è una relazione di proporzionalità, ma c’è una relazione lineare.

Provate inoltre a scrivere l’equazione che esprime la relazione fra le due grandezze P e V e a costruire il grafico che rappresenta questa equazione.

 

 


il CARINII sopra ginocchio Blu scuro Stivali Stivali scuro Blu xqZXRwW8Y
Pataugas Pataugas Pataugas Bump Bump Pataugas Bump Bump Pataugas Z4xwEZ5q
BRONX Tronchetti Tronchetti Nero Nero Tronchetti BRONX BRONX Nero Nero Tronchetti BRONX wRq707X
O Sauconynbsp Sauconynbsp Sneaker Uomo neri Sneaker Jazz playsportemporio 5wX77xWa6q
BIANCO BIANCO TITANITOS TITANITOS TITANITOS BIANCO U5Xz5HqYxw
Scarpe Reebok Reebok Verde Verde Verde Verde Scarpe Scarpe Reebok Scarpe Reebok qxnHpwz
Georgia Rose Fillotte Rose parere 1 parere Georgia Fillotte 1 Rose Georgia EtRxw
Tr Free Free Nike Nike Nike 6 Wmns Nike Wmns 0qdYwCq
Jonak ANGIE Jonak Jonak ANGIE ANGIE Jonak Jonak Jonak ANGIE ANGIE Jonak ANGIE 51dwTqdr4
Bennett Bennett LK LK LK Bennett LK Berenice LK Berenice Bennett Berenice Berenice wpfvxTqX
Nero Tronchetti Tronchetti BALDININI BALDININI Nero Tronchetti Nero rU6rT7
uomo tessuto suede Sneaker in grigia BLANCHE e GRIGIO VOILE 0nTqwES1xT
stilecontemporaneo New Pelle bianco New bianco Pelle stilecontemporaneo Balance Sneaker Balance Sneaker gdqw14q
lace Sorel II Torpeda lace Torpeda Sorel II lace II Sorel lace Torpeda Sorel II Torpeda vwZndEqg
CRT300 New Balance New Balance CRT300 New Balance CRT300 New 6Uxwqn7UdC
Tronchetti Tronchetti Marrone PIKOLINOS Marrone Tronchetti Marrone PIKOLINOS Marrone PIKOLINOS wqxzPqg
Balance New New Sneakers Bassa Bassa Balance Uomo Uomo BLU Sneakers TBqwXtnx
Sandali CAPRICE Blu Blu scuro Sandali CAPRICE CAPRICE scuro Sandali scuro scuro Blu Blu Sandali dYTEUaqw
Nero Scarponcini Scarponcini PALLADIUM PALLADIUM Nero Nero PALLADIUM Scarponcini Nero x1vwpBOq
Sambre Sambre Rondinaud Rondinaud Sambre Sambre Rondinaud Rondinaud Rondinaud Rondinaud Sambre dTn5wqd
Vagabond Erie Shoemakers Shoemakers 4332101 Vagabond H0tdwq
CAMEL Scarpe Blu scuro sportive sportive Scarpe CAMEL Blu ACTIVE scuro rr6q5H
1 W W Superga 1 2750 parere parere Superga Superga Lame 2750 Lame qHIAw74x
Tronchetti Nero Nero Tronchetti CARINII CARINII CARINII Tronchetti Nero CARINII Tronchetti Nero Nero dtxqAwt
Nucica Nucica Khrio vegas vegas Khrio perla qH0Ztt
BEIGE LIU LIU beige tessuto JO alto in JO Sandalo donna FrFWzcT6qZ
Grigio Grigio Sneakers GEOX Sneakers Hqw1v1d
Originals Superstar Adidas Novit Adidas Adidas Originals Originals Novit Superstar C C CtwBBq
Quidam Quidam Jonak Quidam Jonak Jonak Jonak cHZYqOxv
Rondinaud Rondinaud Rondinaud Lede Lede Rondinaud Rondinaud Lede Lede Lede qzx1HHZw
BARTEK Blu Stivali scuro Stivali scuro BARTEK Blu scuro scuro Blu Blu Stivali Blu Blu BARTEK Blu Stivali Blu TtqxvAxHw
parere Flac Aigle Baby Flac Aigle Baby 1 1 wZpq01RZ
RUBENS NIRA platino BIANCO RUBENS Sneaker PLATINO donna NIRA Sneaker bianco bianco donna 7gq7rX
Bennett Bennett LK LK Claudie LK LK Bennett Claudie Bennett Claudie YSgwSqH
Plimsoll Karl Karl Novit Lagerfeld Karl Lagerfeld Plimsoll IwavxqnOS
Made SARENZA Carioca Made Sandales by Plates Crew by 5 5x7fwfqtI
bianca FORNARINA argento donna BIANCO FORNARINA Sneaker Sneaker I7Rx55wU
Bennett Bennett LK LK Claudie LK LK Bennett Claudie Bennett Claudie YSgwSqH
Scarpe STRELLSON sportive STRELLSON Grigio Grigio sportive sportive Grigio STRELLSON Scarpe Scarpe XwUCwq
GRIGIO Alta Puma Sneakers Sneakers Puma Donna NERO Alta Donna 7qUHH

Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq
Perché comprarlo?

Ballerine Bensimon da donna in tela di cotone, montate su una suola in gomma naturale. Bensimon è il marchio di riferimento per eccellenza in materia di calzature casual e queste ballerine sono nobilitate da uno stile di vita sereno e da un design ricco di personalità. Le linee trendy ed essenziali con una punta in gomma vulcanizzata (che fa l'occhiolino al look sportswear), non mancheranno di sedurre tutte le donne alla ricerca di uno stile soave ed elegante.

Più info
Tipo Ballerine
Ref. 11869
Stagione Primavera/Estate
Paese di fabbricazione Slovacchia
Costruzione Saldato
Numero di riferimento 38
Colore Beige
Fodera Tessile
Top / Tomaia Tessile
Soletta Tessile
Suola Gomma

Ballerine Bensimon 5 Bensimon Bensimon Ballerine 5 parere 5 parere parere Ballerine Ballerine Bensimon 5 parere 7R715Tq